已知函数$y=f_1(x), y=f_2(x)$，定义函数$f(x)=\begin{cases}f_1(x),f_1(x)\leqslant f_2(x)\\f_2(x),f_1(x)>f_2(x)\end{cases}$.
（1）设函数$f_1(x)=\sqrt{x},f_2(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-1}(x\geqslant 0),$求函数$y=f(x)$的值域；
（2）设函数$f_1(x)=\lg(|p-x|+1)$（$0<x\leqslant\dfrac{1}{2},p$为实常数），$f_2(x)=\lg\dfrac{1}{x}\left(0<x\leqslant\dfrac{1}{2}\right)$，当$0<x\leqslant\dfrac{1}{2}$时，恒有$f(x)=f_1(x)$，求实常数$p$的取值范围；
（3）设函数$f_1(x)=2^{|x|},f_2(x)=3\cdot2^{|x-p|},p$为正常数，若关于$x$的方程$f(x)=m$($m$为实常数)恰有三个不同的解，求$p$的取值范围及这三个解的和（用$p$表示）.
题源：2020徐汇一模