现在已经到高二暑假了，理试卷时翻到高一寒假作业，发现还有一些难题还没解。而习题册最后就有答案，可见这些题难得当时都不想看了。相对于高二最近做的超难解几和导数题更注重计算和技巧，高一的函数题还是偏思维的，体现在做一回就会头脑发烫，毕竟许多概念也是高等数学知识下放。
1.已知函数$f(x)=2^x (x\in \mathbb{R})$，记$g(x)=f(x)+f(-x).$
（1）解不等式：$f(2x)-f(x)\leqslant 6$；
（2）设$k$为实数，若存在实数$x_0\in (1,2]$，使得$g(2x_0)=k\cdot g^2(x_0)-1$成立，求$k$的取值范围；
（3）记$h(x)=f(2x+2)+a\cdot f(x)+b$（其中$a$、$b$均为实数），若对于任意的$x\in [0,1]$，均有$|h(x)|\leqslant\dfrac{1}{2}$，求$a$、$b$的值.
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题源：2019普陀一模
2.已知函数$y=f_1(x), y=f_2(x)$，定义函数$f(x)=\begin{cases}f_1(x),f_1(x)\leqslant f_2(x)\\f_2(x),f_1(x)>f_2(x)\end{cases}$.
（1）设函数$f_1(x)=\sqrt{x},f_2(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-1}(x\geqslant 0),$求函数$y=f(x)$的值域；
（2）设函数$f_1(x)=\lg(|p-x|+1)$（$0<x\leqslant\dfrac{1}{2},p$为实常数），$f_2(x)=\lg\dfrac{1}{x}\left(0<x\leqslant\dfrac{1}{2}\right)$，当$0<x\leqslant\dfrac{1}{2}$时，恒有$f(x)=f_1(x)$，求实常数$p$的取值范围；
（3）设函数$f_1(x)=2^{|x|},f_2(x)=3\cdot2^{|x-p|},p$为正常数，若关于$x$的方程$f(x)=m$($m$为实常数)恰有三个不同的解，求$p$的取值范围及这三个解的和（用$p$表示）.
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题源：2020徐汇一模
3.已知函数$f(x)$的定义域为$D$，值域为$f(D)$，即$f(D)=\{ y|y=f(x),x\in D \}.$若$f(D)\subseteq D$，则称$f(x)$在$D$上封闭.
（1）试分别判断函数$f(x)=2017^x+\log_{2017}x$、函数$g(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$在$(0,1)$上是否封闭，并说明理由；
（2）函数$f(x)=\sqrt{x+1}+k$的定义域为$D=[a,b]$，且存在反函数$y=f^{-1}(x).$若函数$f(x)$在$D$上封闭，且函数$f^{-1}(x)$在$f(D)$上也封闭，求$k$的取值范围；
（3）已知函数$f(x)$的定义域是$D$，对任意$x,y\in D,$若$x\neq y$，有$f(x)\neq f(y)$恒成立，则称$f(x)$在$D$上是单射.已知函数$f(x)$在$D$上封闭且单射，并且满足$f_n(D)\subset D,$其中$f_{n+1}(x)=f(f_n(x)),(n\in N^{*}),f_1(x)=f(x).$证明：存在$D$的真子集$D_{n}\subset D_{n-1}\subset \cdot\cdot\cdot \subset D_3\subset D_2\subset D_1\subset D,$使得$f(x)$在所有$D_i(i=1,2,3,\cdot\cdot\cdot,n)$上封闭.
题源：2017浦东一模
4.已知函数$f(x)=x^2-2ax(a>0).$
（1）当$a=2$时，解关于$x$的不等式$-3<f(x)<5$；
（2）函数$y=f(x)$在$[t,t+2]$的最大值为$0$，最小值是$-4$，求实数$a$和$t$的值；
（3）对于给定的正数$a$，有一个最大的正数$M(a)$，使得在整个区间$[0,M(a)]$上，不等式$|f(x)|\leqslant5$恒成立.求出$M(a)$的解析式.
5.已知$f(x)$是定义在$[m,n]$上的函数，记$F(x)=f(x)-(ax+b)$，$|F(x)|$的最大值为$M(a,b)$，若存在$m\leqslant x_1< x_2< x_3\leqslant n$，满足$|F(x_1)|=M(a,b),F(x_2)=-F(x_1),F(x_3)=F(x_1)$，那么称一次函数$y=ax+b$是$f(x)$的“逼近函数”，此时的$M(a,b)$称为$f(x)$在$[m,n]$上的“逼近确界”.
（1）验证$y=4x-1$是$g(x)=2x^2,x\in [0,2]$的“逼近函数”；
（2）已知$f(x)=\sqrt{x},x\in [0,4],F(0)=F(4)=-M(a,b).$若$y=ax+b$是$f(x)$的“逼近函数”，求$a,b$的值；
（3）已知$f(x)=\sqrt{x},x\in [0,4]$的逼近确界为$\dfrac{1}{4}$，求证：对任意常数$a,b,M(a,b)\geqslant\dfrac{1}{4}$.
6.若函数$f(x)$满足：对于任意正数$s,t$，都有$f(s)>0,f(t)>0$，且$f(s)+f(t)< f(s+t)$，则称函数$f(x)$为“$L$函数”.
（1）试判断函数$f_1(x)=x^2$与$f_2(x)=x^\frac{1}{2}$是否是“$L$函数”；
（2）若函数$g(x)=3^x-1+a(3^{-x}-1)$为“$L$函数”，求实数$a$的取值范围；
（3）若函数$f(x)$为“$L$函数”,且$f(1)=1$，求证:对任意$x\in (2^{k-1},2^k)(k\in\mathbb{N}^{*})$，都有$f(x)-f\left(\dfrac{1}{x}\right)>\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}$.
7.定义：若函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且存在实数$a$和非零实数$k$（$a$、$k$都是常数），使得$f(2a-x)=k\cdot f(x)$对$x\in\mathbb{R}$都成立，则称函数$f(x)$是具有“有理数对$(a,k)$”的函数.比如，函数$f(x)$有理想数对$(2,-1)$，即$f(4-x)=-f(x),f(4-x)+f(x)=0$，可知函数图像关于点$(2,0)$成中心对称图形.设集合$M$是具有理想数对$(a,k)$的函数的全体.
（1）已知函数$f(x)=2x-1,x\in\mathbb{R}$，试判断函数$f(x)$是否为集合$M$的元素，并说明理由；
（2）已知函数$g(x)=2^x,x\in\mathbb{R}$，证明：$g(x)\notin M$；
（3）数对$(2,1)$和$(1,-1)$都是函数$h(x)$的理想数对，且当$-1\leqslant x\leqslant1$时，$h(x)=1-x^2$.若正比例函数$y=mx(m>0)$的图像与函数$h(x)$的图像在区间$[0,12]$上有且仅有$5$个交点，求实数$m$的取值范围.
8.若函数$y=f(x)$对定义域内的每一个值$x_1$，在其定义域内都存在唯一的$x_2$，使$f(x_1)f(x_2)=1$成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数$g(x)=2^x$是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数$f(x)=(x-1)^2$在定义域$[m,n]$$(m>1)$上为“依赖函数”，求实数$m$、$n$乘积$mn$的取值范围；
（3）已知函数$f(x)=(x-a)^2\left(a<\dfrac{4}{3}\right)$在定义域$\left[\dfrac{4}{3},4\right]$上为“依赖函数”.若存在实数$x\in\left[\dfrac{4}{3},4\right]$，使得对任意的$t\in\mathbb{R}$，有不等式$f(x)\geqslant-t^2+(s-t)x+4$都成立，求实数$s$的最大值.
9.记函数$f(x)$的定义域为$D$.如果存在实数$a$、$b$使得$f(a-x)+f(a+x)=b$对任意满足$a-x\in D$且$a+x\in D$的$x$恒成立，则称$f(x)$为$\Psi$函数.
（1）设函数$f(x)=\dfrac{1}{x}-1$，试判断$f(x)$是否为$\Psi$函数，并说明理由；
（2）设函数$g(x)=\dfrac{1}{2^x+t}$，其中常数$t\neq0$，证明：$g(x)$是$\Psi$函数；
（3）若$h(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的$\Psi$函数，且函数$h(x)$的图像关于直线$x=m$（$m$为常数）对称，试判断$h(x)$是否为周期函数？并证明你的结论.
10.已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$\varphi(x)$的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上$\varphi(x)$都不是常值函数.设$a=t_0< t_1< \cdot\cdot\cdot< t_{i-1}< t_{i}< \cdot\cdot\cdot< t_n=b$，其中分点$t_1$、$t_2$、$\cdot\cdot\cdot$、$t_{n-1}$将区间$[a,b]$任意划分成$n(n\in\mathbb{N}^{*})$个小区间$[t_{i-1},t_i]$，记$M\{a,b,n\}=|\varphi(t_0)-\varphi(t_1)|+|\varphi(t_1)-\varphi(t_2)|+\cdot\cdot\cdot+|\varphi(t_{n-1})-\varphi(t_n)|$，称为$\varphi(x)$关于区间$[a,b]$的$n$阶划分的“落差总和”;当$M\{a,b,n\}$取得最大值且$n$取得最小值$n_0$时，称$\varphi(x)$存在“最佳划分”$M\{a,b,n\}$.
（1）已知$\varphi(x)=|x|$，求$M\{-1,2,2\}$的最大值$M_0$；
（2）已知$\varphi(a)<\varphi(b)$，求证：$\varphi(x)$在$[a,b]$上存在“最佳划分”$M\{a,b,1\}$的充要条件是$\varphi(x)$在$[a,b]$上单调递增；
（3）若$\varphi(x)$是偶函数且存在“最佳划分”$M\{-a,a,n_0\}$，求证：$n_0$是偶数，且$t_0+t_1+\cdot\cdot\cdot+t_{i-1}+t_i+\cdot\cdot\cdot+t_{n_0}=0$.